논리적 함축 관계

1. x ↔ y

2. x ∧ y

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Q1. 1이 2를 함축하는가?

Q2. 2가 1을 함축하는가?

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저번 글에서 논의했던 미결된 문제이다. 일전의 예시를 그대로 가져오자.

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추론 A

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ㄱ. 나은이가 예쁘면 예은이는 착하다.

ㄴ. 예은이가 착하면 나은이는 예쁘다.

따라서 나은이가 예쁘면 예은이는 착하고 예은이가 착하면 나은이는 예쁘다.

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ㄱ. x → y

ㄴ. y → x

∴ x ↔ y

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추론 B

ㄷ. 나은이는 예쁘다.

ㄹ. 예은이는 착하다.

따라서 나은이는 예쁘고 예은이는 착하다.

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ㄷ. x

ㄹ. y

∴ x ∧ y

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나는 추론 A에서 아래와 같은 결론을 도출했다. 쌍조건문이 연언문을 함축하는 것이 확인되었다. 추론 A의 자연언어로 든 예시에서 '이고'가 발견되는 것으로부터 힌트를 얻었다. 그러므로 Q1은 자명하다고 판단된다.

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ㄱ. x → y

ㄴ. y → x

∴ (x → y) ∧ (y → x) ≡ (x ↔ y)

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하지만 문제는 2가 1을 함축하는가이다.

 

https://www.youtube.com/watch?v=7n8gWUKBb90 

 

이와 관련하여 함축에 관한 영상을 참고하였다. 먼저 영상에 나오는 13가지 함축 관계의 내용을 정리하자.

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1. 연언지 도입

(A, B) → (A ∧ B)

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2. 연언지 제거

(A ∧ B) → (A, B)

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3. 선언지 도입

A → (A ∨ B)

ex) 전제 : A, ~B 결론 : A ∨ B

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4. 선언지 제거

(A ∨ B, ~A) → B

((A ∨ B) → (C ∨ D), ~A) → B → (C ∨ D)

((A ∨ B) → (C ∨ D), ~B) → A → (C ∨ D)

((A ∨ B) → (C ∨ D), ~C) → (A ∨ B) → D

((A ∨ B) → (C ∨ D), ~D) → (A ∨ B) → C

※ (A ⊻ B, A) → ~B

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5. 동치 도입

(A ≡ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A))

(A ≡ B) ← ((A → B), (B → A))

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6. 동치 제거

(A ≡ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A))

(A ≡ B) → (A → B)

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7. 조건문 도입

B → (A → B)

B → (~A → B)

ex) 전제 : B 결론 : A → B (o)

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8. 전건긍정

(A → B, A) → B

((A ∧ B) → C, A) → (B → C)

※ 수출 규칙

(A ∧ B) → C ≡ A → (B → C)

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9. 후건 부정

(A → B, ~B) → ~A

A → B ≡ ~B → ~A

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10. 조건 연쇄

(A → B, B → C) → (A → C)

함축은 이행성이 성립한다.

(aRb ∧ bRc) → aRc

※모순, 양립 가능성은 이행성이 성립하지 않는다.

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※(A ∧ B) → A

A → (A ∨ B)

(A ∧ B) → (A ∨ B)

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11. 귀류법

(A → (B ∧ ~B)) → ~A

≡ (A → ~A) → ~A

※ A → ~A는 실질 함축에 의해 ~A ∨ ~A와 동치, 이는 동어반복에 의해 ~A와 동치.

A → ~A는 동어반복에 의해 A →(A ∧ ~A)와 동치, 이는 귀류법에 의해 ~A와 동치.

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12. 딜레마

(A ∨ B, A → C, B → D) → (C ∨ D)

① (A ∨ B, B → C) → A ∨ C

② (A ∨ B, A → C, B → C) → C

③ (A → C, ~A → C) → C

④ (A ∨ B ∨ C, A → D, B → E, C → F) → (D ∨ E ∨ F)

⑤ ((A ∧ B) → E, (A ∧ C) → E, B ∨ C) → (A → E)

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13. 아이오타(IOTA, If Or Then And) 분리

((A ∨ B) → (C ∧ D)) → (A → C, A → D, B → C, B → D)

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이로부터 답을 얻었다. 2, 5, 6을 잘 이해하면 Q2가 해결됨을 알 수 있다. 연언지가 제거된 결과물은 쌍조건문의 결과물과 같음을 알 수 있다. 즉, (x ∧ y) → (x, y)는 (x ↔ y) → (x, y)와 같다. 내가 헷갈린 부분은 조건문의 자연언어 치환이다. '~라면'이 '~인 경우에', '~인 경우에만' 따위의 수반 개념으로 받아들여졌기 때문에 헷갈렸다. 그냥 결과물만 놓고 보면 이해가 용이하다. 그다음에 5, 동치 도입에서 우항의 연언지를 제거하고 좌항의 동치 문장을 함축할 수 있음을 알 수 있고, 마찬가지로 6의 동치 문장과 연언 문장이 동치인 경우 동치 문장이 연언 문장의 각 항을 함축함을 알 수 있다. 이로써 단순한 논리 규칙의 이해에 의해 문제가 해결되었다.