추가해야 할 전제만

https://www.youtube.com/watch?v=f9u2c1Rux3I 

 

1. 전제 : A 결론 : B

2. 전제 : A → B 결론 : A → C

3. 전제 : A, A → B 결론 : C

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1의 전제로부터 결론을 도출하기 위해 추가해야 할, 즉 필요한 전제는 무엇인가? "A → B"이다. 2의 전제로부터 결론을 도출하기 위해 추가해야 할 전제는 "B → C"이다. 3은 어떤가? 우선 전제를 보면 A와 A → B로부터 B라는 것을 알 수 있다. 그리고 결론 도출을 위해 필요한 전제는 'B → C'이다. 이때, 추가해야 할 전제를 고르는 문제에서 <보기>로 'ㄱ. B'와 'ㄴ. B → C'가 주어진다면 골라야 하는 것은 무엇인가? 우선 ㄴ이 필요하다는 사실은 자명하다. 하지만 ㄱ이 반드시 필요하다고 하기는 어렵다. 이미 전제로부터 ㄴ을 충분히 도출할 수 있기 때문에 ㄴ이 꼭 필요하지는 않다. 하지만 ㄴ이 추가된다고 해서 추론에 문제가 생기거나 하지는 않는다. 단지 중복이 불필요할 뿐이다. 그렇기 때문에 수능이든(수능은 좀 아니지만) psat이든 발문에서 '추가해야만'이나 '필요한'이 명시되었다면 신중히 살펴 답을 골라야 할 것이다. 너무 금방 끝나니까 예시를 하나 만들어보자.

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1. 나은이는 예쁘다.

2. 나은이가 예쁘다면 예은이는 착하다.

따라서 예은이가 착하다는 것은 거짓이다.

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이것을 기호화하자.

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1. x

2. x → y

따라서 ~y

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위의 예시와 결론만 다른데 같은 추론이 가능할까? 전제 1로부터 y가 도출된다. 그리고 결론을 위해 'y → ~y'가 필요하다. 이것은 명백히 모순이므로 타당한 추론이 아니다. 다른 식으로 바꿔보자.

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1. 나은이는 예쁘다.

2. 나은이가 예쁘다면 예은이는 착하다.

따라서 나은이는 예쁘다.

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이것을 기호화하자.

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1. x

2. x → y

따라서 x

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전제 1로부터 y가 도출된다. 위의 규칙에 따르면 타당한 결론의 도출을 위해 'y → x'가 필요하다. 그런데 x는 이미 전제에 있다. 따라서 'y → x'가 굳이 필요해 보이지 않는다. 이 추론은 필요충분조건문인 듯 보인다. 'x ↔ y'가 성립한다. 그래서 결론이 x ∧ y가 가능할 것으로 보인다. 왜냐하면 논리적 동치인 쌍조건문이 연언지를 어떤 식으로 함축하기 때문이다. 이게 무슨 소리인가 싶은 것이다. 분명 조건문인데 그리고로 이루어진 문장을 함축한다는 것이 이상하게 느껴질 수 있다. 이것은 자연언어가 개입되었기 때문인데 예시를 들어보자.

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추론 A

1. 나은이가 예쁘면 예은이는 착하다.

2. 예은이가 착하면 나은이는 예쁘다.

따라서 나은이가 예쁘면 예은이는 착하고 예은이가 착하면 나은이는 예쁘다.

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1. x → y

2. y → x

∴ x ↔ y

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추론 B

3. 나은이는 예쁘다.

4. 예은이는 착하다.

따라서 나은이는 예쁘고 예은이는 착하다.

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3. x

4. y

∴ x ∧ y

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이로 볼 때 결론이 같은 것을 알 수 있다. 추론 A를 보면 결론이 x와 y를 모두 지시한다. 추론 B도 마찬가지로 결론이 x와 y이다. 추론 A의 결론이 추론 B의 결론을 함축하는 이유는 쌍조건문이 연언문보다 더 많은 의미 단위를 함의하기 때문일 것이다. 역함축이 불가능하다는 것을 생각하면 이해가 빠를 것이다. 나은이가 예쁘고 예은이가 착하다는 사실이 나은이가 예쁘다면 예은이가 착하다는 조건문을 함축하는 것은 아닌 것 같기 때문이다. 사실 나도 헷갈려서 부랴부랴 논리학 권위자에게 질문했다. 자연언어와 논리 규칙이 완벽하게 대응하지 않기 때문인지 모르겠지만 헷갈리는 부분이다. 차후에 제대로 알고 수정을 하겠다.

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(추가) 추론 A를 다시 보자.

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1. 나은이가 예쁘면 예은이는 착하다.

2. 예은이가 착하면 나은이는 예쁘다.

따라서 나은이가 예쁘면 예은이는 착하고 예은이가 착하면 나은이는 예쁘다.

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결론이 연언지로 구성된 것을 볼 수 있다. 이를 기호화하면,

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1. x → y

2. y → x

∴ (x → y) ∧ (y → x) ≡ (x ↔ y)

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이로 보아 쌍조건문이 연언문을 함축하고 있는 것을 알 수 있다. 이로써 'x ↔ y'가 'x ∧ y'를 함축하는 것은 자명해 보이지만 그 역은 아직 아리송하다. 나중에 이 논제에 대해 따로 글을 구성하도록 하겠다.

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이 이후는 위 내용에 대한 수정, 보충이다.

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1. x ↔ y

2. x ∧ y

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Q1. 1이 2를 함축하는가?

Q2. 2가 1을 함축하는가?