부분적 함축, 이, 역, 대우

"모든 생명체는 절대로 아름답지 않은 대상에게서는 사랑을 느끼지 않는다."

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위의 명제만 가지고 다음을 생각할 수 있는가?

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"모든 생명체는 오직 아름다운 대상에게서만 사랑을 느낀다."

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우선 각각의 명제를 기호화해보자.

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1. ~아름 → ~사랑

2. 사랑 → 아름

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첫 번째 명제는 두 번째 명제를 함축한다. 그러면서 동시에 둘은 동치이다. 반면에 다음과 같은 경우는 생각 가능한가?

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"아름다운 대상에게 사랑을 느낀다."

"사랑하지 않는다면 아름답지 않은 것이다."

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3. 아름 → 사랑

4. ~사랑 → ~아름

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1과 2는 3과 4를 함축하지 않는다. 그런데 1과 2의 부정은 3과 4를 함축한다. 마찬가지로 3과 4는 1과 2를 함축하지 않고, 3과 4의 부정은 1과 2를 함축한다. "사랑한다면 그것은 아름다운 대상이다."가 "아름다운 대상에게 사랑을 느낀다."를 아예 함축할 수 없는 경우가 있는가? 즉, 2가 3을 부분적으로도 함축하지 못하는가? 우선 2의 반증은 "사랑한다면 그것은 아름다운 대상이 아니다."이다. 즉 2가 참이라면 2의 반증은 전건에 의해 후건이 도출되지 않는 경우를 뜻한다. 2의 부정은 2의 '이'인 4와 같다. 반면, 3의 반증은 "아름다운 대상에게 사랑을 느끼지 않는다."이다. 즉 3이 참이라면 3의 반증은 전건에 의해 후건이 도출되지 않는 경우를 뜻한다. 3의 부정은 3의 '이'인 1과 같다. 두 반증들을 비교해보자.

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"사랑을 느끼다면 그것은 아름다운 대상이 아니다."

"아름다운 대상에게 사랑을 느끼지 않는다."

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5. 사랑 → ~아름

6. 아름 → ~사랑

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5는 6의 대우이고 마찬가지로 6은 5의 대우이다. 즉 둘은 동치다. 2와 3의 반증이 서로 같다. 즉 2의 반증은 3의 반증이기도 하고 3의 반증은 2의 반증이기도 하다.

이제 2가 3을 부분적으로 함축할 수 있는지 알아보자.

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2. "오직 아름다운 대상에게서만 사랑을 느낀다."

3. "아름다운 대상에게 사랑을 느낀다."

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위의 두 명제가 참이라면, 아름다운 대상에게 사랑을 느끼는 경우가 오직 아름다운 대상에게서만 사랑을 느끼는 경우를 함축하는 것 같다. 왜냐하면 상식적으로 2와 3 모두 아름다운 대상에게 사랑을 느끼는 것은 같지만 3은 아름답지 않은 대상에게도 사랑을 느낄 수 있는 가능성이 있기 때문이다. 즉 3이 함축한 의미 단위가 2보다 더 많다. 그럼 2는 3을 부분적으로도 함축하지 못하는가? 우선 아니다. 분명히 겹치는 부분이 존재하기 때문이다. 2가 3을 논리적으로는 함축하지 못하지만 일상 언어적으로 겹치는 부분에 대해서 함축한다고도 할 수 있을 것 같다. 위의 경우를 진리표로 확인하자.

 

	아름	사랑	2. 사랑 → 아름	3. 아름 → 사랑
w1	T	T	T	T
w2	T	F	T	F
w3	F	T	F	T
w4	F	F	T	T

두 명제는 함께 참인 경우가 존재하고 함께 거짓인 경우가 존재하지 않으므로 양립 불가능하지 않다. 둘은 양립 가능하고 모순되지 않다. 2와 3은 서로 부분적으로 함축할 수 있다.